統計学的画像再構成法である

OSEMアルゴリズムの基礎論

【第1章】確率・統計の基礎

１．４ 独立性

独立性について説明する前に、集合の記号を覚えましょう。よく使う記号には、

∩、∪、⊂、⊃、⊆、⊇、∈、∋

などがあります。意味はそれぞれ、

かつ、または、左は右に含まれる、右は左に含まれる、左は右に含まれるか等しい、

右は左に含まれるか等しい、左は右に属す、右は左に属す

と約束されています。また否定するときは、≠（等しくない）のように／を使って否定します。例えば、

は、“AはBに含まれない”となります。ではこれらの記号を使って独立性を説明します。簡単ですからご心配なさらずどうぞ読んでみてください！！

　さて、ある事象Aについての確率Pは、P(A)と書きましたね。もう一つ違う事象Bについての確立をP(B)としましょう。そこで、A∩Bを考えます。これはAかつBでしたね。言い換えると“AでもありBでもある”ということです。ここで、

が成り立つとき、AとBは互いに独立といいます。つまりAでもありBでもあるときの確率は、Aについての確率とBについての確立の掛け算に等しいときにAとBは互いに独立であるのです。例をあげて説明しましょう。

《コインとサイコロ》

　1枚のコインと1個のサイコロを同時に投げて見ましょう。そしてサイコロの6の目がでる確率を考えてみます。6の目はコインが表であろうと裏であろうとその確率は1/6ですよね。つまりサイコロの目はコインの表裏に影響されていません。このようなときを独立といいます。コインが表でかつサイコロの目が６の確立を求めましょう。コインが表の確率は1/2です。サイコロが６の目の確率は1/6です。同時に起こるのはこれらを掛けたときですから1/12です。したがって上の定義式が成り立ちます。

　　注意：ここで2つの確率を足してはだめですよ。足すと2/3になるので常識的にも変ですよね！！

《2個のサイコロ》

　こんどは2個のサイコロを同時に投げることを考えましょう。1つ目のサイコロに2の目が出る確率は1/6です。2つ目のサイコロに5の目がでる確率も1/6です。2の目5の目が同時に出るのはこれらを掛けたときですから1/36です。したがって上の定義式が成り立ちます。これを確率論らしく書いてみましょう。

A＝｛1つ目のサイコロに2の目が出る｝

B＝｛2つ目のサイコロに5の目が出る｝

P(A)＝｛1つ目のサイコロに2の目が出る確率｝＝1/6

P(B)＝｛2つ目のサイコロに5の目が出る確率｝＝1/6

P(A∩B)＝｛AとBが同時に起こる確立｝＝1/36

∴　P(A∩B)= P(A)P(B)

AとBは独立であるといえる。

　ところが、事象を次のようにするとどうでしょうか？

A＝｛1つ目のサイコロに偶数が出る｝

B＝｛2つ目のサイコロに奇数が出る｝

C＝｛1つ目と2つ目のサイコロの合計が偶数｝

D＝｛1つ目のサイコロに６の目が出る｝

P(A)＝P(B)＝P(C)＝1/2　　　P(D)＝1/6

このとき、D⊂AであるのでP(A∩D)＝1/6である。よって、P(A∩D) ≠ P(A)P(D)であるので、

AとBは独立であるといえない。

さらに次のように示すことができます。

P(A∩B)＝P(A∩C)＝P(B∩C)＝1/4　

よって、

P(A∩B)= P(A)P(B)

P(A∩C)= P(A)P(C)

P(B∩C)= P(B)P(C)

であることがわかります。しかし、P(A∩B∩C)=０≠P(A)P(B) P(C)、つまり、AとBは互いに独立、AとCは互いに独立、BとCは互いに独立ですが、AとBとCは独立ではありません。このような時は、AとBとCは組ごとに独立であるが、互いには独立ではないということもあります。